BIG – LARGE
Analicemos sus diferencias:

1. FORMAL E INFORMAL.
Ambos adjetivos significan "grande" o "de mayor (tamaño, cantidad, peso, altura, etc.) que el promedio". Observa estos ejemplos:
Lucy lives in a BIG house.
Lucy vive en una casa grande.
Lucy has an excellent income and can live in a LARGE house.
Lucy tiene un ingreso excelente y puede vivir en una casa grande.

En ambos ejemplos, tanto BIG como LARGE significan que la casa de Lucy es superior al promedio en tamaño. Pero aún significando lo mismo, el adjetivo LARGE es un poco más formal que BIG y se utiliza más en inglés escrito.

2. SUSTANTIVOS NO CONTABLES.
Ni LARGE ni BIG pueden utilizarse con sustantivos no contables. Esto significa que podemos decir "The house has a (big or large) garden" porque el sustantivo "garden" es contable. Pero no podemos usar BIG o LARGE con "traffic", por ejemplo, porque no es un sustantivo contable. En ese caso -- con sustantivos no contables -- debemos usar A LOT OF. Observa:
There's A LOT OF traffic on the road.
Hay mucho tránsito en la carretera.

3. IMPORTANCIA, EDAD, ETC.
BIG también puede usarse con el sentido de "importante". Observa:
Buying a house is a very BIG decision.
Comprar una casa es una decisión muy importante.
BIG también suele usarse en situaciones informales significando "mayor" (en edad) o "poderoso" (en éxito). Dos ejemplos:
Hi guys, this is my BIG brother.
Hola chicos, este es mi hermano mayor.
New York is a BIG tourist destination.
Nueva York es un grandioso destino turístico.

4. BIG Y LARGE EN FRASES IDIOMATICAS.
It's no big deal = No es gran negocio.
I have big ideas = Tengo unos planes impresionantes.
She's a big mouth = Ella no logra mantener un secreto.
He's too big for his boots = Él es demasiado orgulloso.
The prisoners are at large = Los prisioneros escaparon.
She's larger than life = Ella es majestuosa y divertida.